في الوحدة الفرعية الماضية، لقد قدّمت لكم بُعد التشابه الذاتي
ولقد حسبنا بُعد التشابه الذاتي لثلاث كُسيريات مختلفة.
كُسير ندفة الثلج، مثلث Sierpinski ومنحني Koch.
في الوحدة الفرعية هذه، سأشير لعدد من الملاحظات الأخرى عن الكُسيريات
بما فيها التفكير بما يعنيه التشابه الذاتي
وماذا يعني أن نقول أنّ شيئاً ما غير خاضع لمقياس.
وسأحاول أيضاً أن أتناول سؤال.
إنّه على الأغلب في عقلك والذي هو
ما الأمر مع الأبعاد الغير صحيحة،
كيف يمكن أن تبدو منطقية
لشيء لديه بُعد ليس 1 أو 2
لكنه شيءٌ ما بينهم. كيف يمكن أن نفكر بذلك حتى؟
إذاً من خلال توجيه ذلك السؤال
لقد حصلت على طرق جديدة للتفكير بهذا
سوف نبدأ من خلال توجيه هذا السؤال
كم هو طول منحني Koch.
إذاً السؤال قبل أن أقول كم هو طول منحني Koch.
يذكرك أن تحسب بُعده في القسم السابق.
ها هي الخطوات وتفسيرها.
إذاً ما سأقوم به قد أتى مع تعبير
لطول الخطوة 0، الخطوة الأولية.
ومن ثمّ بعد خطوة، خطوتين، 3 خطوات وهكذا.
وسنرى ماذا يحدث.
إذاً سأقول، دعونا ندعو هذا بالطول الأولي 1.
فقط للراحة بالقول
دعونا نقول أنّ هذا متر أو شيئاً ما.
إذاً سوف املأ هذا الجدول هنا،
إذاً إنّها خطوة 0 مبدئياً
كم هو طول كل قطعة مستقيمة
لكن قد كان هناك قطعة مستقيمة واحدة
ولديها طول 1.
إذاً الطول الكلي هو 1.
يوجد قطعة مستقيمة واحدة بطول 1، الطول الكلي هو 1.
حسناً، ماذا عن الخطوة الأولى،
يوجد الآن 4 قطع مستقيمة 1، 2، 3، 4.
وكل قطعة مستقيمة هي ثلث طول القطعة المستقيمة الأصلية.
إذاً الخطوة 1، طول كل قطعة مستقيمة هو ثلث،
عدد القطع المستقيمة هو 4،
وإذا لدينا 4 أشياء كلٌّ منهم لديه طول ثلث،
الطول الكلي هو أربع أثلاث.
حسناً، ماذا عن الخطوة 2؟
حسناً، تتكرر العملية.
إذا نظرت فقط لهذا القسم هنا،
أذهب من قطعة مستقيمة واحدة إلى 1، 2، 3، 4،.. أربع قطع مستقيمة.
لكن نفس القصة تلك تحدث هنا، وهنا وهنا.
إذاً يوجد الآن 16، ...1,2,3,4,5,6,7,8 وهكذا، قطعة مستقيمة.
حسناً، إذاً الخطوة 2، يوجد 16 قطعة مستقيمة،
بالمناسبة 16 هي 4 مربع.
لدي 4 قطع مستقيمة هنا
ومن ثمّ 1،2،3،4، شكل كذلك 4 في 4 يساوي 16.
حسناً، إذاً الآن هذا الطول هو ثلث.
إذاً هذا الطول في الأطوال الأخرى هو ثلث الثلث.
إذاً ذلك 9.
إذاً ذلك 1/9 والذي هو ثلث الثلث
والذي هو أيضاً ثلث مربّع.
إذاً إن كان لدي 16 شيء
كلٌ منهم لديه طول التسع،
والأطوال الكلية،
الطول هو 16 على 9
والذي صادف أن يكون ثلث مربع.
حسناً، ربما ترى هذا النمط الذي يأخذ شكلاً هنا.
دعونا نقوم بخطوة 3 بسرعة،
إذاً إذا ركزت فقط على هذه القطعة الصغيرة هنا،
أذهب من هذا الطول لهذا الطول،
ولدي الآن قطع مستقيمة أكثر بـ 4 مرات مما كان لدي سابقاً
وكل خطوة يرتفع عدد القطع المستقيمة
بعامل 4، إنّها مضروبة بـ 4.
إذاً الآن سيكون لدي، تلك الخطوة 3،
4 في 4 في 4، والتي هي 4 مكعبة.
عند كل خطوة، كان طول القطعة المستقيمة ينزل بمقدار ثلث.
هذا واحد. هذا ثلث. هذا ثلث الثلث.
هذا ثلث ثلث الثلث.
ذلك ثلث مكعب.
إذاً دعونا نقول ذلك ثلث مكعب.
إذاً إذا لدي 4 أشياء مكعبة
كلٌ منهم لديه طول ثلث مكعب،
عندئذٍ الطول الكلي
سيكون 4 ثلث مكعب.
بالمناسبة لاحظ أنّ الطول يصبح أطول
وإنّه من السهل جداً رؤية ذلك.
هذا الطول 1، الآن لقد أضفت انعطاف.
إنّه من الواضح أنّ هذا المسار بالإنحناء في أطول من هذا.
في كل مرة أضيف انحناء في مسار، فإني أضيف طول.
إذاً يصبح الطول أكبر وأكبر.
يمكننا أن نعمم هذا، نرى نمط الآن.
عند الخطوة n، قد تم قطع كل قطعة مستقيمة بالثلث عدد n مرة،
وكل خطوة، عدد القطع المستقيمة مضروب بـ 4.
إذاً الطول الكلي هو 4 أثلاث مرفوع للقوة n.
إذاً السؤال الآن هو ماذا يحدث
عندما تكبر n أكثر وأكثر.
ويمكنك رؤية ماذا يحدث هنا.
هذا الرقم يصبح أكبر وأكبر وأكبر....
4 أثلاث مضروبة بنفسها مرة بعد مرة.
إنّها تصبح أكبر دائماً
إنّك تضيف نسبة 33 بالمئة كل مرة.
إذاً بينما تصبح n أكبر وأكبر،
يصبح الطول الكلي أيضاً أكبر وأكبر.
فلنقل أنّه يذهب لـ اللانهاية.
إذاً ها هنا صورة لمنحني Koch
هذا، لقد قمت بها على الحاسوب، يجب أن أفكر بـ 16 خطوة.
لاتدعني دقة الرسم أن أذهب أبعد من ذلك. لن نستطيع رؤيته.
وبينما نستمر بعملية التكرار
نضيف انحناء عند كل خطوة وكل خط
عندئذٍ يصبح المنحني مطلق.
إذاً سيكون لدى هذا المنحني هنا طول مطلق.
إذاً إذا كان لدينا منحني طويل بشكلٍ مطلق
لكنه من الواضح يتضمن منطقة محدودة.
أستطيع أن أرسم دائرة حوله.
المنطقة هنا محدودة بالتأكيد.
هذا فقط شكلٌ بيضوي على ورقتي.
إنّه بحجم يدي تقريباً.
ومع ذلك أستطيع أن أناسب أحد منحنيات Koch المتلويّة هذه هنا.
في الواقع ذلك لديه طول مطلق.
إذاً أحد الأشياء عن الكُسيريات هو أنّهم
يضمّون خاصية المتناهي واللا متناهي بطريقة مثيرة للإهتمام.
وفي الواقع، لقد كان ذلك أحد الحوافز الأصلية
لهذه التفسيرات في بدايات 1900.
قد كان الرياضيون يبحثون في نظرية الأعداد
ويحاولون أن يفكروا بخصائص مختلفة لـ اللامحدودية.
إذاً على أي حال منحني Koch لديه طول مطلق،
ومع ذلك إنّه من الواضح أنّه يمكنك أن تناسب ذلك الطول المطلق بمنطقة محدودة.
إذاً الآن دعوني أفكر ببُعد منحني Koch.
تذكروا أننا وجدنا سابقاً أنّ البُعد هو لوغاريتم 4 على لوغاريتم 3
والذي هو 1.262 تقريباً
إذاً إنّه بين أبعاد 1 و 2.
إذاً طريقة واحدة لنفكر بهذا هي أنّ
الأشياء مع هذا النوع من الأبعاد بين 1 و 2
لديها بعض ميزات صفات أحادية البُعد
وبعض من ثنائية البُعد.
إذاً إنّه أحادي البُعد في ذلك بحيث مصنوع من خطوط.
تذكّر أنّه في بنيتنا لقد بدأنا بخط
ووضعنا التواء فيه، وضعنا نتوء فيه، وضعنا نتوءات فيه،
وضعنا نتوءات على النتوءات وهكذا، وهكذا...
ولقد انتهينا بشكل.
إذاً إنّه أحادي البُعد بمعنى ما
أو لديه صفات أحادية البُعد
لأنّه بدأ كخط.
ومع ذلك لديه الكثير من النتوءات فيه.
ويصبح الشكل مسنن جداً
الكثير من الأسنان على أسنان على أسنان
ونتوءات ونتوءات ونتوءات
ويبدأ ذلك بالارتفاع،
يرتفع نوعاً ما إلى البُعد الثاني.
إنّه ليس ثنائي البُعد بشكلٍ كامل، كمنطقة.
إنّها لا تأخذ مساحة حقاً.
لكن الخط يصبح وعر جداً بحيث
لديه ميزات ثنائية البُعد نوعاً ما.
على أي حال ذلك ليس جدال دقيق
لكن طريقته نوعياً
للتفكير بالبُعد الغير صحيح.
إنّهم يندمجون لشيءٍ ما بين أبعاد 1 و 2،
أحادي البُعد نوعاً ما، ثنائي البُعد نوعاً ما.
إذاً شيءٌ آخر للتفكير به بمنحني Koch هو
كما قلنا في منطقة محدودة،
لديها طول مطلق.
إذاً سيكون ذلك مفيد حقاً
ربما إن كان ذلك جزء من شيءً ما طويل
عضو ما لبنية كانت تحاول أن تتبادل
التي أرادت أن يكون لديها منطقة سطحية.
ربما هذا شكل
يحاول أن يبدد حرارة،
إذاً يمكن أن يكون شيئاً فيزيائي،
لا يجب أن يكون حيوي.
إذاً هذه المنطقة السطحية الكبيرة ستكون
كمثال، هذا المحيط الكبير والطويل لهذا الطول الكبير
سيكون مفيدأ حقاً.
لأنّ ذلك سيكون طول كبير
لعبره ، حيث الحرارة يمكن أن تُبدّد،
أو الأوكسجين يمكن أن يتبدل أو شيئاً ما.
إذاً تلك ميزة أخرى مثيرة للإهتمام
لهؤلاء الأنواع من الكُسيريات
إذاً لقد قلت سابقاً، إنّهم يضمّون اللانهاية والشيء المحدود
ويمكن أن يكون لديهم بعض المزايا البنيوية
اعتماداً على تطبيق معين.