Então, temos duas equações.

Uma nos diz a relação

entre os multiplicadores de Lagrange

Em particular, nos diz que Z 
é uma função de 𝜆₁.

E a segunda equação, 
duas equações, duas incógnitas,

nos permite encontrar 𝜆₁.

Então Z está na forma 
de uma série infinita,

mas se você lembra 
de séries geométricas,

você, na verdade, consegue resolvê-la,
porque isso,

escrevendo os primeiros termos 
só para dar uma intuição,

ficam 1 + exp(-𝜆₁) 
+ exp(-2 𝜆₁)

e por aí vai.

E sabemos que a série geométrica 
dessa forma,

por um belo argumento 
que não faremos aqui,

resulta em
1 / 1-exp(-𝜆₁).

Então já sabemos como reduzir 
esta soma infinita

a uma forma bem elegante.

A próxima coisa que vou destacar,

porque sou um ex-físico,

eu sempre vou acabar
escorregando nisso:

gostamos de chamar Z 
de "função partição".

Ok? Z é a soma sobre 
estes termos aqui.

E uma coisa a notar sobre Z, 
a função partição,

é que se tomarmos 
a derivada de Z sobre i,

o que acontece?

A derivada de Z 
-- perdão, sobre 𝜆₁--,

derivada de Z sobre 𝜆₁,

temos o seguinte:

Bom, temos um sinal negativo,

e temos a soma.

E agora o que temos é 
um termo i que tombou.

Então, de repente, temos 
a mesma soma infinita

que temos na outra equação.

Não podemos resolver imediatamente, 
pelo truque de séries geométricas,

porque, invés de ser 
1 + p + p² + p³ + ...,

agora temos estes fatores 
na frente deles [dos p's].

Mas note que, se tomamos 
a derivada da função partição,

derrubamos o fator de i.

Então, de fato, podemos reescrever

a segunda equação de restrição aqui

como -1/Z dZ/d 𝜆₁= 4 
[vide vídeo].

Então, a primeira coisa que fazemos é 
tomar a derivada de Z sobre 𝜆₁

e dividir por Z.

E podemos fazê-lo facilmente.

Temos um fator de 
exp(-𝜆₁) no numerador,

[sobre] (1-exp(-𝜆₁))².

Essa é a derivada de Z 
com relação a 𝜆₁,

sinal negativo.

E um fator de 1/Z, 
que remove um destes aqui.

Então Z = 1 / 1-exp(-𝜆₁).

Se dividimos por isso, 
cancelamos um destes aqui.

E agora, transformamos esta equação,

que seria difícil de resolver,
por ser uma série infinita,

e colocar uma série infinita no MatLab
leva muito tempo para resolver.

Invés disso, temos uma forma analítica,

uma forma funcional 
para resolver diretamente.

Agora, tudo que precisamos fazer

é resolver esta equação aqui.

Encontrar 𝜆₁ que faça

tudo isso ficar igual a 4.

Feito isso, substituimos de volta em Z.

E sabendo Z e 𝜆₁,

recuperamos não só a forma funcional

da probabilidade de esperar por x,

mas também poderemos computar 
o tempo de espera em função de x --

a probabilidade de tempo de espera
por um valor particular [de x].

Então resta esta equação aqui,

e, invés de resolvê-la exatamente,

porque temos uns logaritmos,

posso te dar a resposta que

𝜆₁ é igual a 
aproximadamente 0.22.

E daí, podemos computar 
o valor de Z,

e podemos agora podemos 
escrever a proporcionalidade.

[P(x) proporcional a exp(-0.22x)]

Então esta distribuição aqui,

com uma normalização adequada,
[ignorar fator escrito na lousa]

será uma distribuição exponencial,

é uma distribuição exponencial,

linear no tempo de espera x.

E o que mostrei é que esta distribuição
tem as seguintes propriedades, certo?

Ela satisfaz a restrição linear.

Ela é normalizada.

E ela tem a máxima entropia

dentre todas as distribuições 
com as propriedades prévias.