现实生活中有许多类型的随机游走

我希望介绍几个，让你了解到

其丰富性

首先是皮尔逊随机游走(Pearson random walk)，

它的每一步是一个固定长度，但是方向是随机的。

我在这里展示了一个

典型的皮尔森随机游走轨迹。

另一个是点阵中的随机游走，

这样的随机游走被限制在

相邻的规则格子之间移动。

所以，在这里的每一步是固定的长度，

方向是北东南西

中的任意一个。

另一个类型是所谓的莱维飞行（Lévy flight）。

莱维飞行拥有

广泛分布的步长，

每步方向是随机的。

在这里，我们将看到许多步以后

主要影响位移的是

单步最长的游走。

另一个我非常喜欢的是，

步长变小的随机游走，

就好像随机游走者越来越懒惰，

随着时间推移，第n步的长度是λ^n

其中λ小于1，步长趋向于0。

这一类随机游走令人惊喜的地方在于

随着收缩因子λ的改变

其概率密度函数

有很多类型

比如当λ= 0.61时，实际上就恰好

是黄金比例点，(1 + sqrt(5))/2，

这概率分布非常漂亮，

展现出尺度上的自相似模式，

也就是说整个鼓包形状

和中间这个小鼓包

放大后是一样的

从而展现出尺度上的重复。

另一个有趣的特例是 λ=0.707, 这实际是 1/sqrt(2)

此处的概率分布是

由三个直线段组成，包括二倾斜线

和一条水平线。

步长变小的随机游走

还能展现出其他美丽的特例

其它随机游走的重要的例子出现在

自然界中的湍流扩散或

随机对流场

在这种情况，随机游走的步长

是随着时间的推移变大的。

从而展现出你在海上油田

看到的羽毛状的

燃烧产生的烟。

下面是我们刚才讨论的随机游动类型。

正如我们所看到的，前4种类型符合

著名的中心极限定理。

中心极限定理中的概率分布

是渐近的高斯分布，独立与

微观运动的细节。这样的

普遍性广泛存在于

很多群体现象中。