现在让我提醒你我们接下来要讲什么。

首先，我将演示随机游走的均方根位移

是时间的平方根尺度这一随机游走理论中

的基本的结果。

接下来我要说明二维空间是特殊的。
在二维及以下的空间

随机漫步是循环的，
也就是说它肯定会回到它的

起始点，而对于大于2的维度，
随机游走是

暂态的，它是否返回到起点是不确定的。

接下来，我将展示随机漫步的概率分布，并展示

如何推导扩散方程。

接下来我将讨论基本的中心极限定理

这个定理表明随机漫步的概率分布
在非常宽泛的条件下

是高斯分布

最后，我将介绍首次通过时间并

给出一些基本的例子。

作为理解随机漫步特性的第一步，让我们

计算随着步数不断增大，随机行走的距离如何变化

这可以用一个称为均方根的量来概括

由于均方根出现的频率很高，我们通常

用角标rms表示，所以在随机游走中

X_rms表示位移的均方根

最简单的情况是皮尔逊随机漫步

我们采取固定长度但方向随机的步。

这里每一步的长度是a，每一步之间的夹角是随机的。

我们可以用数学方程描述皮尔逊随机的性质

每一步的平均值等于a，步长固定。

而且，在行走中没有偏差，所以每个单个位移的平均值

等于0。这里尖括号

表示一段行走的平均值

由于每一步之间是独立的

因此xi和xj的点积

对于任意不相等的i，j，我们得到这个数学表达式

表示每一步之间没有相关性

有了这些假设，我们来计算N步后的平均位移

和位移的均方根。所以均值

位移，我用大写X下标N来表示

它等于单个位移从i = 1到N，对小x i求和

通过构造，每个xi都有一个平均值

值为0，所以我们把一大堆等于0的值加起来，就得到

零

现在看一下均方位移，我们要

求X N的平方，然后求平均值。那么这个量是多少呢?

再一次，我们要取位移之和x_i, i从1到N，平方这个整体

然后取平均值。所以当我们对这个和平方时，这个二项式，

有两种类型的项。我们有所谓的对角线项

比如x_i点乘x_i

表示成i从1到N， (xi²)的求和
然后是所有的交叉项

也就是对于 i 不等于j ，(x_i • x_j)的求和
然后我们需要得到

所有这些的平均值。通过构造，这些交叉项是

都是0，因为连续的步之间没有相关性，所以我们只要

忽略这个。对角线项都是相同的，它们是

每一步的平方长度-有N个这样的项，所以这是

只不过是N a^2。所以这个量<X_N²>被称为

位移的平均平方值，其平方根值

就是位移的均方根

也就是说X_rms被定义成平均 位移的平方开根号

它等于sqrt(N)*a，这是我们的得到的第一个基本性质

即位移均方根不是随步数线性增长的

却只正比于步数的平方根。

所以用随机游走探索空间实际上不是很有效。另一个

这里要强调的是
因子a构成了这个方程

量纲上的正确性，
因为在等式左边我们有长度单位

因此右边的需要有一个长度单位a

这便是随机游走理论中

一个基本的性质