表征随机游走的更加基本方式

是概率分布，

也就是随机游走

在时间t时处于位置x的概率，我们称之为

基本概率分布p(x,t)

我现在要做的是对于离散空间，离散时间，一维随机游走

计算这个分布

让我们想象一个随机漫步

在一维空间里，有离散的地点，比如

这是位置x-2, x-1, x+1和x+2。

我们假设随机游走可以移动

到最近的邻居，向左向右概率相等

从x跳1次

向右1的概率为1 / 2

在左边也是1/2。从x+1出发也是一样

跳到x+2的概率是1 / 2

到左边的概率是1 / 2，同样的

对于晶格的其他位置。有了这样的图像，

现在我来计算

这个随机游走的概率分布

这个分布由所谓的主方程计算

它描述了这个概率分布是如何演变的

那么如何在时间t时到达位置x呢?

只有两种方式可以发生这种情况。要么是随机的游走者

原本在x-1处，它以1 / 2的概率

向右跳了一下，
也就是说它上一个时刻

处于x-1位置，所以有1 / 2*p（ x-1）的概率

这里1 / 2表示

它向右跳的

概率是1 / 2。或者随机游走者

在前一个时间步在位置x+1

然后跳到左边。这个方程叫做

主方程，它描述了如何

概率分布随时间的变化而变化。

事实上，相比于直接计算P (x,t)

P (r,t)的计算更加简单

他表示在时间t时，我已经向右移动了r步

也就是说这里r表示向右移动的步数

定义 l 为向左走的步数。

然后r+l，总步数表示

总时间t, r-l是

向右移动减去向左移动的步数之差

等于位置x，一旦我们

计算p(r,t)我们就能重建

p (x, t)。那么p(r,t)是什么?
原则上是可以的

直接解主方程，但我在这里

我要论证实际上可以

由 p (r, t)间接求出p (x ,t`)

所以总行走次数

任意大小，任意方向，都等于t !

因为我可以按任何顺序进行步骤。所以有

一个整体因子 t !然而，如果我想

限制我向右走r步，

这意味着在这些t！排列中

有r个是向右的，l 个是

向左的。为了不重复

我们需要把t !除以

r !，因为所有的步骤都可以被打乱

这不影响我们最终都在同一个地方。

对向左走的也一样。然后需要乘以(1 / 2)^t

因为每一步都是

概率是1 / 2。所以这个量是

是随机游走者在总共t步中向右走了r步

的概率。现在

利用r, l, t和x之间的关系，我们可以

计算 r = (t+x)/2，类似地

l = (t-x)/2。因此我们有

基本结果，p(x,t)等于

t ! 除以 [(t + x) / 2 ] !

[(t - x) / 2 ] ! 
1 / 2的t次方，

现在，在这种离散形式下，我们实际上不太方便

做任何操作，因为它是离散的

我们不能用微积分的力量。所以,

一般来说，我们想要找到当t趋于无穷时

这个概率分布会变成什么样

我们可以用斯特林近似

将阶乘化简为解析函数，

我写一下斯特林近似。

结果是，经过一些代数运算，2除以

√t, e ^ (- 2x²/ t)

这个量被称为高斯概率

分布，我们会学到，它是

随机游走相对普遍的特征。

现在我已经从离散到

连续因为这个公式是离散的

时间、离散空间、上的随机游走……即使它是

概念上是基本的，在分析上不太方便

所以我要通过在连续统极限下处理这个问题

得到更加优雅的

高斯函数

这将是下一张幻灯片的主题。

这堂课结束后，有人

指出我在结果的地方犯了一个愚蠢的错误

在使用斯特林近似

从概率的阶乘表达式出发

得到的高斯分布中，2不属于

在分子上，它应该在分母上。

很抱歉。