现在让我转向随机游走理论的一个基本结果

它被称为中心极限定理。

让我们想象一下任意空间维度的随机漫步

其中单步是由位移x给出的

这些单步的概率分布

由p (x)给出。

我们假设这些小x是iid变量。这是一个标准的缩写

对于独立的，相同的分布。

让我写一下独立且相同的分布。

也就是说，对于每个x, p (x)是相同的分布函数。

让我们进一步假设单步的平均位移，

所以我们不再需要把自己限制在对称随机游走中。

我们假设每一步的平均位移是有限的，

非常轻微的限制。

我还假设一步的均方位移

也是有限的。

在这些条件下，N步后的概率分布，

表示为P_N (X)

所以这里，X是位移的总和，表示 N个x。

那么，总位移的概率分布等于

1 /√(2 n²)e ^ (- x) - n乘以

x² 的平均值，除以 2n²，

这里sigma平方等于单步分布的方差。

也就是x的平方平均减去x的平均平方之差。

这个表述被称为中心极限定理。

我应该说它成立极限是N趋于无穷。

这是一个非常强大和普遍的结果，因为一个人只需要满足

这两个前提，这些是唯一重要的东西

确定随机漫步的长距离、长时间属性。

这是一个普遍的例子其中的短期细节

微观的过程，即单个步骤的细节基本上都做到了

在长期限制下没有关系。

如果我们讨论的是最近邻随机漫步，这并不重要

维数或其他类型的跳跃分布也可以满足，只要是分布

服从这两个条件，第一和第二矩是有限的，那么

长时间极限的分布是普遍的高斯形式。

注意，从这个结果中，我们知道了平均位移

在随机游走N步之后，也就是对xpn (x)的积分，dx等于

等于n乘以一步后的位移。

类似地，随机游走多步后的方差，x²

平均减去x平均的平方。

还是用和之前一样的定义，这是x²

p_N (x) dx减去x的平均值的平方，我们已经计算过了。

这个式子就等于N*σ²。所以，一旦我们知道了第一和第二矩

是什么，我们就知道了

N步随机游走的分布由高斯形式给出，

从这里我们可以计算任意时刻的随机漫步。