现在我来概述一下中心极限定理的证明 这个证明从 概率分布的演化方程 出发，我写下来P_N(x) N步后，我在位置x， 这种情况这是怎么发生的? 为了在第N步到达位置x， 我必须在N-1步在的某个其他地方 概率为P_(N-1)(x')，然后在一步后 从x'到x, 所以p(x'->x) 这个方程 被称为查普曼-柯尔莫哥洛夫方程 表示为在第N步在位置x 随机游走者在N-1步的时候 在其他地方，然后从这个“其他地方” 跳到x 因此我需要对这些作为中转站的“其他地方”进行积分 现在， 为了化简它，我要利用 傅里叶变换技术，请注意 这个物体被称为卷积，因为 通过我们在一步之内从x '到x。所以 如果我对这个方程进行傅里叶变换，实际空间中的卷积 在傅里叶空间中是乘法 所以，在傅里叶变换之后， 我们基本上有一个更简单的表述 P_N(k)， k是强调 傅里叶变换函数， 所以P_N(k)不是P_N(x)用k代替x， 而是一个不同的函数--经过了傅里叶 变换--它等于P_(N-1)(k)*小p(k) 现在我可以用这个递归公式了 然后一直递归到 开始的那一刻，并推断…好吧, 我们先一次只做一步。P(N-1), 等于P(N-2)(k)乘以 小p (k)的平方。然后继续 过程，直到最后， 得到的结果等于 P_0(k)乘以p的N次方，但是， 如果我们想象一个粒子从原点开始， 那就意味着_0 (x)是位于x的delta函数， 它的傅里叶变换是1，所以这个 化简成p(k)的N次方。 现在，求概率分布 作为x的函数，我们只需要逆 傅里叶变换P_N(k)。我把它写出来， 所以P_N(x)等于1 / 2，积分负除以 所有的空间，所以它是p(k)的 N次方，e ^ ikx。让我在一维空间中 进行处理，因为在高维中 没有概念上的区别，只是 更笨拙（处理起来更麻烦），我们把它写成 从负无穷到正无穷的积分 一维积分。但现在 我要利用这一事实： 即单步分布有这样一个特点： 均方位移是有限的。 现在我们回到p(k) 他是p(x)的傅里叶变换，那么 P (x) e ^ (ikx) dx。用泰勒级数进行展开 我们有p(x) 有1 + ikx - k² x²/ 2加上高阶函数 dx。我们来识别每一项 第一项，p(x) 1 dx， 这是我在一步之内跳到任何地方的概率 通过构造，这个 等于1。下一项，ik 在前面，然后是 p(x) x dx的积分，这表示 一步的平均位移, 这是 ikx 的平均值。 同样的，第二项是 k²/ 2，然后得到积分 p(x) (x²) dx ，表示 一步之后的位移的平方均方 加高阶项。 来完成这个证明剩下的部分 简单点，我把自己限制在 对称的情况，我把不对称的情况 给你流程作业 所以我先忽略这一项 以为我假设 随机游走是对称的。所以现在我 把p(k)代回对P_N(x)积的分， 所以P_N(x)等于 1 / 2 * pi, （1-k² <x²>）的积分 除以二 取它的N次方，然后e的- ikx dk。 现在我要利用 我对N很大和的k很小 很感兴趣这一事实，小k在傅里叶定义域 对应大X，所以我可以用指数近似 这个东西。 这个渐近于1 / 2 e ^ (- nk²)x²的平均值 除以2乘以- ikx dx。现在我 利用这样一个事实： 高斯函数经过傅里叶变换还是高斯函数 最后我得到， --再一次，我跳过了所有简单的代数步骤， 我把它留给学生做练习-- 1除以根号2piN x² 平均值 e ^ (- x²) 除以2nx²的平均值。 者就是对称的随机游走 产生的中心极限定理，其中平均位移 单步期待值是0。再一次， 我想强调的是，这个分布是 高斯函数，而且它独立于 每个步骤的几乎所有细节。 所以这种普遍的行为在在统计物理中许多问题 是强大的，统一的。 它也在随机游走理论的发展中 有着很重要的作用