第一通过实践的另一个重要应用是化学动力学，

人们通常对扩散反应物的效率感兴趣

实际上它经历了一个反应。

这个基本问题被称为反应速率理论。

这是问题的设置。

考虑一个半径为a的球，

它浸在含有扩散粒子的流体中。

这些粒子是任意的，有着固定的浓度c，

每个粒子四处扩散，

如果这些扩散粒子中的一个碰到球体，它就被吸收了。

每个粒子根据某个扩散系数D扩散。

我们要计算的基本问题是，

被球体表面吸收的粒子有多快。

这体现在反应速率上，

用字母k表示。

所以这被定义为反应速率，

它被定义为单位时间内被吸收的粒子数。

这个定义并不完全，

因为很明显，如果浓度加倍，

我们要将吸收的粒子数量加倍，

为了得到一个内在量，我们应该除以总浓度。

不做任何计算，这个简单的公式已经包含

一些令人惊讶的结果。

我们来做量纲分析，然后问，

“反应速率的维度是什么?”

被吸收的粒子数没有量纲，

这里两个那个是1/时间，浓度是1/体积，

因此反应速率的量纲是

长度的幂次维度缩放，

除以时间。

另一方面，

反应速率取决于什么?

很明显，描述系统本身的两个参数，

是球体的半径和粒子的扩散系数。

所以反应速率应该是扩散系数，

和吸收球的半径的函数。

现在，还有一点需要注意的是，扩散系数的大小

我们在本教程的前面已经讨论过了，

扩散系数的量纲是长度的平方除以时间。

有了这些量钢

扩散系数，球面半径的大小，

我们可以推断出反应速率如何取决于系统中的参数。

我们知道反应速率的量纲是1/时间。

时间只出现在扩散系数中，所以很明显，

反应速率应该是扩散系数的线性函数。

如果我们利用这个事实，那么分子上就有长度的2次幂，

而反应速率是长度的d次方，

所以唯一能让长度变成d次幂的方法，

是在分子处由a的(d-2)次方。

所以从这些简单的考虑，我们推断出反应速率

应该与扩散系数乘以球体半径的d-2次方

成正比。

这就是反应速率理论的基本结果，

反应速率依赖于扩散系数，

以及球的半径。

让我们更详细地看看这个式子，

因为这已经产生了一些非常惊人的结果。

首先，让我们考虑三维的物理空间。

在这种情况下，反应速率与球的半径成正比。

现在，让我在这旁边加上一个感叹号，来强调这个事实

它与球体的横截面积不成比例，

而是球的半径。

所以它有一个反常的维度依赖性。

另一方面，如果我们在二维以下，

更奇怪的事情似乎发生了，因为它说在二维以下，

这个反应速率随a的减小而增大。

再一次，我们在旁边加个感叹号，因为很明显，

这是一个荒谬的结果。

当你减小吸收球的尺寸，

不可能增加反应速率。

所以，关键是在二维空间下

有一种关于系统参数的

新的依赖。

现在我们在三维空间中定量地计算反应速率理论。

我们有一个熟悉的，半径为a的吸收球，

它浸在由扩散粒子组成的流体中，每个粒子都与之扩散

扩散系数D，当其中一个扩散粒子

击中球体表面，它被吸收了。

为了计算反应速率，我们首先要计算的是

球外粒子的浓度分布，

然后由此，我们可以计算粒子到球表面的通量

那么，对于问题的第一部分，

要找到浓度曲线，我们必须解决以下

经典的边值问题，我们要解扩散方程

dcdt等于D，拉普拉斯算子(c)

加上适当的初始边界条件。合适的初始条件是

球面的外部

在初始时刻的浓度--我们可以设定为任何值--

设它等于1。

我们还有一个边界条件，如果一个粒子撞到球上，

在任何正时间，它都被吸收了，

对应于浓度为0的吸收边界条件。

这就是我们要解决的问题。

这是一个经典的边值问题，

解可以写成贝塞尔函数，

稍微动点小机灵，就可以把这个变换成

一维问题，解可以写成

初等函数的表达式，也就是误差函数，但我要尽量避免

所有这些，通过利用在三维空间中，

一个扩散的粒子，或一个随机漫步者，是暂态的。

也就是说，一个粒子从离球体一定距离的地方开始

击中球体的概率小于1。

这意味着球表面附近粒子的损耗不是很严重。

此外，这也意味着来自无穷远处的粒子可以进来

并补充由于吸收而耗尽的例子。

因为这个特征，我假设，

--事实上，这是一个真实的陈述--在很长的时间限制内，

这个浓度曲线会趋于稳定。

所以，我要解决的不是时间相关的问题，而是时间

独立的，或者说是同一问题的稳态版本，

也就是说，我要解的不是这个泊松方程，而是拉普拉斯方程，

D, 拉普拉斯算子所用于c，等于0。

也就是说，让时间导数为0。

我们需要用和时间相关的问题一样

的边界条件来解这个问题

这就是，在球的表面，稳态浓度

应该等于0，而且，如果趋于无穷远，

浓度应该是1。这就是我们要解决的问题

而不是完全依赖时间的问题。事实上这是真的，

这个与时间无关的问题对应于时间趋于无穷对应的稳态。

解这个与时间无关的方程的好处在于

它只是一个球体表面的拉普拉斯方程

我们在大一物理课上就知道解了。

对于这组边界条件，解很简单。

C (r)等于1 - a/r。

现在，除了这个解很简单之外，

它在随机游走方面也有很好的解释。

在之前讨论第第一通过现象时，我们了解到“逃逸概率”

或者”命中概率“满足拉普拉斯方程用一个合适的

边界条件。如果有人看一下我们要解决的问题，

它看起来和“命中概率”问题很相似，

也就是随机漫步最终击中球体的概率，

除了边界条件有点反了，

因为我们有一个边界条件：如果你在球面上，

浓度是0。

所以，实际上，我们解出来的不是”命中概率“，

我们在解经典的“逃逸概率”。

也就是说，随机游走从半径r开始

逃逸到无限远而不碰到球面的概率是多少?

这些边界条件正好反映了”逃逸概率“。

如果我从球面出发，根据定义，我无法逃脱。

如果我从无限远的地方开始，那么根据定义，我已经逃脱了。

所以，这只不过是最终的“逃逸概率”，

注意到它有一个很好的特征：如果你从距离球面a开始

也就是r = 2a，

逃逸概率是1/2，

最终命中的概率也等于1/2。

最后，我们来看一下计算反应速率的问题。

所以反应速率是到球体表面的通量，

所以我们要计算扩散通量，c的梯度乘以D，

我们要计算它与球表面积的点积，

并且在球面上积分，

我们必须有一个负号，因为我们正交向量是向内的，

这是一个非常简单的积分，因为它是球对称的，

所以我们可以提出一个D在前面，

浓度场前可以提出一个a，

当取1/r的梯度时，得到1/(r²)

所以我们在半径为a的球面上，对1/(r^2)积分，

也就是1/(a^2)乘以dS，这个等于

球的表面积，半径为a，也就是等于4 pi a^2，

所以我们得到的是4 pi D a，所以，正如前面提到的，

反应速率与扩散系数成正比

它与球面的半径

成正比。

再次注意，它与球体的横截面积不成正比。

如果解依赖时间的问题，

事实证明，由于时间依赖性，会在这个方程的基础上存在一个修正，

它在长时间极限下会消失，所以正确的答案是，

包括时间依赖性，

等于1 + a/√t(Dt)

这是化学反应动力学的一个基本结果，

表示半径为a的球的反应速率。