Dentro del espacio vectorial, tenemos 10 axiomas, ok no necesitamos saber todos los
axiomas de memoria cuando nos topamos con ellos en forma más directa en los cursos
de álgebra lineal, pero, otra vez, quiero que tomen en cuenta que estos axiomas, nos
dan esencialmente una geometría y un álgebra que es coherente con nuestras
intuiciones acerca de cómo funciona el mundo; por ejemplo uno de estos axiomas se
llama " axioma cerrado" o "condición cerrada", en otras palabras si tomo 2
vectores en mi espacio vectorial y los sumo, voy a llamar a mi espacio vectorial
como V, V mayúscula, si sumo estos vectores en mi espacio, obtengo algo
cerrado, en otras palabras, la suma de estos vectores es todavía un vector en ese
espacio vectorial, una flecha en el espacio, ahora esto es verdad tanto en R^2
como en R^3, por ejemplo si miro a un ejemplo simple en R^2 en el plano y dibujo
un vector, como hicimos antes, un vector U y un vector V y los sumo, en forma segura
sin importar dónde ponga estos vectores en el plano, cuando los sumo, el resultado de
esos vectores, que es un vector estará también en el espacio, tenemos algo
cerrado con respecto a la suma de vectores ahora también queremos un 2do tipo de
cerrazón; en este caso con respecto a otra operación que es fundamental y que es la
multiplicación escalar; por supuesto que queremos algo cerrado con respecto a la
multiplicación escalar; en otras palabras si tomo cualquier valor escalar en forma
general, tomando cualquier valor escalar y escalando cualquier vector en mi espacio
vectorial V por cualquier valor escalar, quedo "encerrado" en otras palabras estoy
todavía en el espacio vectorial y podemos ver como funciona, si tomamos el vector V
en R^ 2 y lo escalo, lo estiro, todavía voy a estar con el vector fundamentalmente
en el espacio vectorial, quedamos encerrados de ese modo, para tener una
linda estructura algebraica, necesitamos algo como el 0 en nuestro espacio
vectorial, entonces tiene que haber un vector 0 en V, en R^2 por ejemplo, será
el vector 0 0; en forma similar, para poder sostener una linda estructura que
nos apuntale aquí, necesitamos en nuestro conjunto de escalares necesitamos una
identidad para la multiplicación y típicamente eso se denota con el 1, así
cuando escalo cualquier vector por 1, en mi conjunto escalar, obtengo ese vector de
nuevo; sólo para que veamos otro ejemplo y ya vimos esto antes en verdad, necesitamos
algo como esto, la conmutatividad de la suma de vectores, en otras palabras cuando
sumo el vector U al vector V en ese orden eso será consistente con sumar el vector V
al vector U en ese orden en particular, eso se llama la propiedad conmutativa de
la suma de vectores; sólo para mencionar 1 más aquí; tenemos también algo como esto,
si tengo 3 vectores y los sumo, no debería importar el orden en el que realizo la
suma; por ejemplo si agrupo U + V juntos en 1er lugar y luego sumo el resultado al
vector W, eso debería ser igual a que si sumo estos vectores en un orden diferente,
si los reasocio, en otras palabras y sumo V + W juntos en 1er lugar y luego en forma
subsecuente le sumo U, debería obtener el mismo resultado y por supuesto eso es lo
que sucede, esta es una de las características que definen al espacio
vectorial y es verdad de la suma de vectores por las definiciones que vimos
anteriormente y se denomina la propiedad asociativa de la suma de vectores;
entonces puedo asociar vectores en cualquier orden cuando los sumo, hay otros
axiomas de los que no voy a entrar en detalles, pero esencialmente el punto al
final de poder definir un espacio vectorial es que queremos quedar cerrados
así podemos permanecer dentro del dominio de vectores y también queremos elementos
que nos brinden identidad y también queremos alguna clase de intuición que nos
permita sumar cosas, en este caso tenemos las propiedades conmutativa y asociativa
cuando sumamos los grupos en forma conjunta, aquí tenemos las formas básicas
del espacio vectorial