Ya Vimos las fórmulas para calcular tanto el determinante de una matriz de 2 x 2
como de una de 3 x 3, quiero también mostrar que esa fórmula, otra vez se puede
generalizar para matrices de dimensiones más grandes; por ejemplo en el pizarrón yo
dibujé acá la fórmula para el cálculo de una matriz de 4 x 4, sólo para que
recuerden, podemos expandir cualquier renglón o columna, escribí la fórmula en
relación a la expansión del 1er renglón, si seguimos el patrón general, extraigo el
componente a11 y en forma subsecuente multiplico por el determinante de la
matriz de 3 x 3 correspondiente que obtengo de eliminar el renglón 1 y la
columna 1 de la matriz original, luego continuo alternando los signos, va - acá,
-a12 x el determinante de la submatriz correspondiente y así sucesivamente y como
pueden ver acá, el cálculo del determinante 4 x 4 involucra
fundamentalmente el cálculo de diversos determinantes de 3 x 3; por esa razón los
determinantes son complicados de calcular sin embargo hay algunas propiedades muy
convenientes y fórmulas para los determinantes que hacen que la tarea de
calcular determinantes grandes sean mucho más sencilla; por ejemplo si tenemos una
matriz diagonal, recordarán que una matriz diagonal es una matriz cuya diagonal
externa, sus componentes, son 0, este sería una linda matriz diagonal de 4 x 4
el cálculo de una matriz diagonal, otra vez puedo expandirme por cualquier renglón
o columna, si por ejemplo me expando por el 1er renglón, tengo el número 1, todo lo
demás será 0, multiplicado por el determinante de la submatriz, bueno, puedo
expandirme, digamos, por el renglón 1 para esa submatriz, obtengo 2 y así
sucesivamente y aplicando el procedimiento de inducción matemática uno puede probar
que el determinante de cualquier matriz diagonal es igual al producto de los
elementos de la diagonal; acá tenemos un cálculo lindo y simple, aún cuando estemos
frente a una matriz de grandes dimensiones obtuve 24
Debido a que el determinante de esa matriz particular era diferente de 0, eso indica
que la matriz es invertible, hay alguna matriz de 4 x 4 a la que puedo multiplicar
y obtener la matriz identidad como resultado de esa multiplicación
sólo para que lo veamos en forma más explícita, recordemos con este ejemplo,
que una matriz de 2 x 2, por ejemplo la matriz 1 2 3 4 y sólo para recordarles que
el cálculo de una matriz de 2 x 2 incluye la multiplicación cruzada, ad - bc
entonces el determinante de esta matriz particular, pongamos las líneas verticales
para escribirlo en forma apropiada, es 4 - 6 o -2; ese valor de determinante debido a
que no es 0 determina la invertibilidad de la matriz A, en otras palabras A es
invertible, yo les mostré anteriormente que la inversa de A de hecho se ve de la
siguiente forma, es la matriz de 2 x 2, -2 1 3/2 -1/2 en el 2do renglón
Las propiedades de los determinantes
son muchas, pero acá voy a mencionar 2 de las más prominentes; la nro 1, si tomamos
el determinante de una matriz transpuesta les recuerdo que la transposición de una
matriz incluye cambiar los renglones y las columnas; si cambio los renglones y las
columnas de una matriz y aplico lo que se llama el Teorema de la Expansión de
Laplace, expande, cuando calculo el determinante sobre cualquier renglón o
columna, si cambio los renglones y las columnas no va a haber ninguna diferencia
puedo expandirme a lo largo de cualquier renglón o columna, voy a obtener la misma
calidad que hubiera obtenido si no hubiera tomado la transpuesta, cambiando los
renglones y las columnas no tiene ningún efecto en el determinante; la 2da
propiedad extraordinaria y muy útil para cálculo de determinantes es un tipo de
propiedad que es una especie de sorpresa en algún sentido; el determinante del
producto de 2 matrices es igual al producto de los determinantes de esas 2
matrices en forma respectiva, en otras palabras el determinante de A x B es = al
determinante de A x el determinante de B; les quiero recordar, tomemos nota, como ya
les dije que la multiplicación de matrices en general no es conmutativa, en otras
palabras AB no es, en general, igual a BA sin embargo cuando aplico el determinante
a un producto, obtengo una linda propiedad conmutativa