Veamos ahora 2 ejemplos típicos de aplicación de las Cadenas de Markov, voy a
dibujar acá es algo que se llama un grafo directo y en un grafo directo tenemos
nodos, en este caso hay 3 nodos, hay 3 valores posibles, y los hemos descrito acá
con este grafo, las probabilidades de la transición entre los diferentes valores
para cada uno de ellos; pueden notar que en un grafo directo hay flechas que
apuntan de un estado o un valor a otro, por ejemplo tenemos el valor de nuestra
economía, una suerte de crecimiento normal una recesión moderada o una recesión
severa; entre cada uno de estos valores, tenemos una flecha que, otra vez, es
directa que apunta hacia otro valor y junto a esas 2 flechas hay un peso o una
medida de probabilidad; entonces por ejemplo si quiero determinar, basado en
este análisis, la probabilidad de que una economía que se encuentra en un estado de
crecimiento normal, se mantendrá en ese crecimiento normal, esa probabilidad es
muy alta, cerca de 97.1% y por el otro lado la probabilidad de que tengamos una
transición desde un crecimiento normal en un año dado hacia una recesión moderada es
.029 y así sucesivamente; veamos que hay flechas entre cada uno de los nodos que en
este caso tienen una probabilidad de 0, debido a que la recesión moderada
representa algo así como un valor intermedio, no hay una flecha directa
entre el crecimiento normal y la recesión severa, esa probabilidad es de 0, antes
tenemos que pasar por una recesión moderada antes de que alcancemos una
recesión severa; dicho sea de paso, estos números están basado en estadísticas
recientes de la economía de los EEUU; ellas valen la pena de ser vistas en este
escenario, en otras palabras basados en estos grafos directos, lo que queremos
hacer es definir mi matriz estocástica P para esta Cadena de Markov y dado algún
valor de estado inicial de nuestra economía podemos entonces hacer una
predicción, podemos, en otras palabras, pronosticar acerca del futuro económico
entonces tenemos acá la matriz estocástica asociada, a la que llamamos P, una vez más
refleja la probabilidad de transición como se muestra en el grafo directo que está
arriba; para los valores en la columna 1 podemos pensarlos e interpretarlos como
las probabilidades de la transición para nuestra economía si es que estamos en un
estado de crecimiento natural, la probabilidad en otras palabras cuando
estamos en un crecimiento natural, miramos al grafo directo, para mantener ese
crecimiento natural se necesita .971 y acá vemos ese valor; por el otro lado la
probabilidad de transición del crecimiento natural a una recesión moderada, el
crecimiento natural en esta columna, la recesión moderada en el 2do renglón, esa
probabilidad es .029, vamos a movernos por el grafo y digamos que para una recesión
severa, la probabilidad de transición para mantener esa recesión severa, esa
probabilidad es .492 que se corresponde con el valor de abajo a la derecha, si
estamos en este estado, cuál es la probabilidad de estar en una transición,
en otras palabras si estamos en una recesión severa tenemos .492, como ya lo
mencioné anteriormente, hay un par de probabilidades 0 para ir de un extremo al
otro, por ejemplo si estamos en una recesión severa la probabilidad de ir a
un estado de crecimiento normal es 0, no hay ninguna flecha desde ese nodo de
recesión severa a un crecimiento normal
ahora que tenemos nuestra matriz estocástica para este modelo económico en
particular, vamos adelante y usémoslo en el contexto de las Cadenas de Markov para
poder hacer algunas predicciones
ok, vamos adelante y calculemos la Cadena de Markov para este ejemplo de pronóstico
económico, otra vez, recordemos que acá está nuestra matriz estocástica P, que
representa las disitintas probabilidades de transición; en el 1er cálculo voy a ser
bastante optimista en términos de desde donde comenzamos, entonces nuestro nodo X
nuestro vector de estado inicial, 1 0 0, donde 1 se corresponde con el 100%, están
todos ahí, para un crecimiento normal y 0 0 para la recesión moderada y la severa,
veamos si comenzamos con el mejor escenario, qué es lo que puede predecir
esta Cadena de Markov para los valores económicos en el futuro?
recuerden que por la condición de Markov tal como la llamamos, cada uno de los
estados subsecuentes en nuestra cadena, depende únicamente del estado previo y la
forma en que se hace la transición de un estado al siguiente es mutliplicando por
esta matriz probabilística de transición, la matriz P; vamos adelante y hagamos
algunos cálculos y encontremos la predicción para nuestro vector de
probabilidad para el año 1
ok, vamos a multiplicar nuestro vector de estado inicial 1 0 0 por la matriz
estocástica P a la izquierda y eso nos da como resultado un vector de estado para el
año siguiente; llamémoslo año 1, tomen nota que estos cálculos son bastante
triviales, escencialmente estamos haciendo un producto escalar cuando multiplico las
matrices en forma conjunta y escalando cada renglón con 1 0 0; entonces lo que
hago es tomar la 1ra columna de mi matriz estocástica; cómo podemos interpretar este
vector de estado? bueno, después del 1er año el pronóstico es el siguiente: hay 97%
de probabilidades de estar, otra vez, en un crecimiento normal y 0.91% de chances
de estar en una recesión moderada y 0% de chances de estar en una recesión severa
eso está bueno, pero me gustaría, en este punto, ver las cosas de forma más profunda
en otras palabras, me gustaría hacer una proyección sobre los valores posibles del
futuro, digamos 10, 1 año por vez, usando este modelo particular
la forma en que puedo hacerlo es, por supuesto, es con la Cadena de Markov es
iterando el proceso de la multiplicación de matrices
para obtener, digamos,
el vector de estado 2, luego del año 2, otra vez quiero multiplicar por P, pero
pueden notar que con cada cálculo que sigue, para obtener el siguiente vector de
estado en mi cadena de secuencias debo simplemente multiplicar por P; un buen
atajo es este; si quiero saber, por ejemplo,
el vector de estado k, que es mi panorama económico en este caso, luego de k años,
todo lo que tengo que hacer es elevar al exponente, en otras palabras elevar a la
potencia mi matriz estocástica a la k en particular, y multiplico eso por el vector
de estado inicial y así obtendo mi predicción para el pronóstico del año k
y otra vez se ve bien linda esta aplicación de tomar las potencias de una
matriz
ahora podemos en forma eficiente hacer predicciones para valores del futuro
usando este modelo matemático en particular; por ejemplo cuál es el estado
que puedo predecir de acá a 10 años? cuál es el futuro económico, cómo se verá?
bueno tomando mi matriz estocástica y simplemente elevándola a la potencia 10
luego multiplico por el vector de estado inicial 1 0 0, otra vez y este es el valor
de la predicción, en este punto tengo 86% de chances de cambiar a un crecimiento
normal y noten que da un poco de miedo ver acá arriba la probabilidad creciente
de una recesión respectivamente y otra vez si quisiera seguir prediciendo lo que va a
ocurrir, digamos 20 años, puedo elevar mi matriz estocástica a la potencia 20,
multiplicando de nuevo por el vector de estado inicial y así obtener las
siguientes probabilidades
si sienten curiosidad se pueden llegar a preguntar qué sucede si empezamos con un
vector de estado inicial diferente? un nodo X diferente, en otras palabras esto
fue pronóstico muy optimista de hecho, podríamos ser un poco más cínicos y ver
qué sucede con el modelo, bueno con seguridad, por ejemplo, si asumo y puede
que sea mi primer supuesto honestamente, el filo, puedo asumir que tal vez tenga
una probabilidad uniforme en el vector, en otras palabras, todos los valores son
iguales en probabilidad que mi vector de estado inicial, entonces no es un
tiempo tan bueno en términos económicos, 1/3 1/3 1/3 para estos componente, lo que
sucede entonces cuando uso la Cadena de Markov y pronostico 20 años en el futuro
en otras palabras elevo mi matriz estocástica otra vez a la potencia 20 y la
multiplico por este vector de estado inicial diferente y obtengo el valor
consiguiente, que no es drásticamente diferente, pero como lo pueden ver, es un
poco peor de hecho
ok vamos a resumir nuestros resultados entre estos 2 casos; en un caso tenemos
este vector de estado inicial, que representa nuestra pronóstico económico
optimista y usamos la Cadena de Markov para hacer una predicción de 20 años en el
futuro, qué es lo que puede suceder entonces, por el otro lado en el 2do caso
comenzamos con un vector de estado inicial que es muy diferente, un vector de
probabilidad uniforme, otra vez, usando la Cadena de Markov para hacer una predicción
con este pronóstico, otra vez, 20 años en el futuro, otra vez dado que nuestros
vectores iniciales son muy diferentes, el vector de estado final, que es predicho
por el modelo en ambos casos, no son del todo diferentes, una buena pregunta para
hacer es si mi Cadena de Markov depende fuertemente de mi vector de estado incial
hasta que punto modificando ese vector, me cambia el valor en el largo plazo en
una Cadena de Markov? podemos responder esa pregunta en forma momentánea y muy
relacionado en el aspecto conceptual está este otro planteo, que es muy importante
para las Cadenas de Markov, es el siguiente: si proyecto en el futuro lejano
en mi secuencia de vectores de estado, definidos por esta Cadena de Markov, esa
secuencia, se establecerá alguna vez?, en otras palabras, para ponerlo en términos
matemáticos, será que mis vectores convergen en un valor en particular? si lo
hacen, dicho sea de paso, ese vector se denomina vector de estado estable de la
Cadena de Markov y significa que mi proceso dinámico tiene una convergencia en
un valor en particular, en otras palabras puede establecerse