Hola, y bienvenidos a la unidad 9 El tema de la unidad 9 es formación de patrones Hasta ahora en este curso, los resultados principales han girado alrededor del fenómeno del caos, allí es donde un sistema dinámico determinista, produce órbitas acotadas, que son a-periódicas y que tienen noción de dependencia en las condiciones iniciales, el efecto mariposa. Pero, hay mucho más en los sistemas dinámicos que solo caos y falta de predictibilidad. Los sistemas dinámicos pueden producir, no solo comportamiento desordenado, comportamiento impredecible, sino también estructuras, patrones y orden. Y eso importa más en el mundo que solo caos e impredecibilidad, miramos alrededor, y vemos en los fenómenos que existen patrones, tienen estructura, orden, cierto tipo de organización también. Así que veremos que así como los sistemas dinámicos simples pueden producir, comportamiento aparentemente aleatorio, los sistemas dinámicos simples pueden producir patrones también. La estructura de esta unidad será un poco diferente de las unidades previas. No podré entrar tanto en los detalles de las matemáticas, porque las matemáticas del ejemplo que quiero cubrir es un poco más complicada y no puedo llegar muy lejos sin utilizar cálculo y ecuaciones diferenciales. Sin embargo, creo que puedo describir el fenómeno general y las ideas matemáticas básicas en juego, sin utilizar toda la maquinaria de ecuaciones diferenciales. Lo intentaré. El fenómeno principal que estudiaremos, es algo llamado sistemas de reacción-difusión y estos son una clase de sistemas dinámicos, algunos de distinto tipo a los que hemos estudiado hasta ahora, que son capaces de producir un amplio rango de patrones diferentes. Estos son los únicos sistemas que forman patrones. Hay muchísimos y muchas técnicas, que se usan para estudiarlos pero creo, que estudiar estos sistemas de ecuación-difusión, es un buen ejemplo para usar las restricciones con las que se trabaja en la formación de patrones Y algunas de las otras cosas que los sistemas dinámicos pueden hacer. Así que para empezar con la reacción, reacción-difusión, en un momento, primero, una nota al margen, quizá se estén preguntando, que pasó aquí, la noche pasada hubo una disputa territorial entre yo y uno de mis gatos. Ancho el es muy amable, pero un poco torpe, y creo que estaba tratando de guardarse bajo las sábanas, trepando sobre mi, entonces resbaló y se quedo con un pedazo de mi cara mientras se caía. Como sea, es solo una herida superficial, sanará rápido, y disculpen, es un poco distrayente. Ok, empecemos con la reacción-difusión Antes de que hablemos acerca de ecuaciones de reacción difusión, quiero hablar sobre la difusión a secas. La difusión es una tendencia de las partículas a dispersarse, convirtiéndose en uniformes, en términos de distribución o concentración. Permítanme empezar con una demostración de la difusión, este es un contenedor, con agua regular, común y corriente y aquí tengo algo de colorante púrpura para alimentos Y voy a poner algunas gotas del colorante para alimentos, en el agua Y lo que debemos observar es que el colorante tiende a dispersarse Se difunde y eventualmente alcanza concentración uniforme Vamos a intentarlo, Aquí están las gotas, están cayendo, pero al mismo tiempo se dispersan En realidad es un patrón muy interesante Ok, el movimiento de caída no es difusivo Pero las hebras deberían volverse más delgadas y débiles Y como ven, no están haciendo exactamente eso Muy bien, quizá esta no fue la mejor demostración del mundo sobre difusión pero es un patrón muy interesante y esta es la unidad sobre formación de patrones así que continuaremos, voy a bajar esto un momento y quizá se difumine un poco quizá necesita un poco más de tiempo veremos pero, así que, en la difusión si tenemos una región, digamos con el púrpura o lo que sea, solo lo llamaremos "púrpura" el púrpura esta muy concentrado tenderá a dispersarse, o difundirse. Las cosas tratan de tener concentración uniforme Una forma de pensar acerca de porque la difusión es como es de porque la difusión ocurre es que es solo una consecuencia del movimiento aleatorio de partículas individuales Imaginen partículas de púrpura individuales que se mueven alrededor en un líquido así como todo se mueve aleatoriamente en un fluido, ya sea gas o líquido. La consecuencia de todo este movimiento aleatorio es que tiende a suavizar cualesquiera uniformidades desigualdades, disculpen Imaginen una situación en la que tenemos cien personas en una habitación y todas caminan alrededor aleatoriamente, encontraríamos que es muy poco probable que todos de repente se reúnan en medio o en una esquina. Si caminan aleatoriamente, esperaríamos que pasaran el mismo tiempo en todas partes. Similarmente, si empezáramos con un grupo de personas moviéndose aleatoriamente, quizá cien personas ebrias en la habitación Los ponemos a todos muy cercanos en una parte y los dejamos irse, ellos solo empezarían a moverse por la habitación al azar, y esperaríamos que ellos mas o menos llenen la habitación uniformemente Así que esa es la manera en que pienso en la difusión. Es solo una consecuencia lógica, una consecuencia inevitable en realidad del movimiento aleatorio de un grupo de partículas. Otra manera de pensarlo, en un nivel microscópico es simplemente que los químicos tienden a moverse de regiones de alta concentración a bajas concentraciones. La concentración es la misma, en promedio, el químico no se moverá. Si hay una alta concentración aquí y una baja concentración allá habrá un movimiento difusivo de esta manera Lo principal es que la difusión es un proceso de transporte, que tiende a emparejar las cosas, que tiende a suavizar toda clase de diferencias. Y, que describiré matemáticamente en un momento. Un poco acerca de esto, unos diez minutos han pasado, desde que hice ese primer experimento y aquí pueden echar un vistazo, les prometo que no lo sacudí, pueden todavía ver que hay algunas hebras adentro, pero como afirmaba, sólo que tomó más de lo que esperaba, el púrpura tendió a volverse uniforme, y si esperara otros diez minutos, o veinte minutos, quedaría aún más uniforme. Así que la difusión es un proceso, ocurre por sí mismo, y tiende a suavizar diferencias de concentración de algo. La última cosa que quiero decir sobre este ejemplo es que ilustra que las cosas se difunden a diferentes velocidades. No había hecho este experimento con este tipo de colorante antes, lo conseguí en una tienda hace un par de horas, y lo que sea que contenga este colorante no se difunde muy rápido, así que tomo un poco más de lo que esperaba, pero aún así es difusivo. También podemos imaginar algo que se difunde más rápido, quizá algo un poco menos viscoso, pero el punto principal es que la difusión tiende a emparejar diferencias en concentración y diferentes cantidades, diferentes químicos, diferentes cosas, podrían difundirse a diferentes velocidades.